Mathematische Paradoxa

  • Was Farbwechsel sagt ist ebenfalls korrekt. Der Klammerausdruck ist nicht =s, weil sie nicht alle Werte der Summe darstellt. Nicht korrekt ist dagegen die Aussage es würde sich um die Reihe 2^(n-1) handeln ;-). Dies schließt auch wieder alle n ein und würde zu Beginn der Reihe einen negativen Exponenten erzeugen.

    Pardon, war schön spät! Ich meinte natürlich nicht, dass die Reihe 2^(n-1) ist, sondern dass das allerletzte Glied der Reihe nicht n gegen unendlich darstellt, sondern n gegen unendlich - 1. Wenn du jetzt verstehst, was ich meine.^^

  • Beim Ausklammern in Summen musst du einen gemeinsamen Faktor für jeden Summanden (den du da als Konstante vorliegen hast - also 1, 2, 4, 8, usw...) finden. Und wenn du bei der 1 den Faktor 2 ausklammern willst, musst du als erstes 1/2 in die Klammer schreiben, um beim Ausrechnen des Terms wieder 1 rauszubekommen.


    Du kannst beim Ausklammern in Summen nicht einfach einen Summanden weglassen. Das ist nicht möglich.


    Ich kann nicht glauben was ich hier lese. Das ist 8. Klasse Mathematik. Natürlich kann man auch Konstanten aus Teilen von Summen ausklammern. Ich hab doch oben ein Beispiel geschrieben: x² + 2x + 1 = x (x + 2) + 1
    Man kann natürlich auch x aus dem ganzen Term ausklammern, was dann so aussehen würde: x² + 2x + 1 = x (x + 2 + 1/x)
    Dies ist aber nicht notwendig und in den meisten Fällen schlichtweg dumm. Rechnet es aus, dann seht ihr dass beide Umformungen korrekt sind. Wer dazu zu faul ist oder wem es an den grundsätzlichsten mathematischen Kenntnissen fehlt:
    http://www.wolframalpha.com/in…x+%28x+%2B+2+%2B+1%2Fx%29
    http://www.wolframalpha.com/in…%3D+x+%28x+%2B+2%29+%2B+1


    Außerdem stellt der Klammerausdruck sehr wohl alle Werte der Summe dar, da man im unendlichen kein n angeben kann, nach dem die Summe aufhört. Bei allen endlichen Summen wäre das der Fall weil genau der letzte Summand wegfallen würde, aber in diesem Fall handelt es sich beide Male um die selbe "Unendlichkeit".

  • Okay tatsache, hast recht. Trotz allem kannst du den rechten Teil der Summe nicht einfach in s umbenennen und dann von der linken Seite abziehen. Bitte eine Erklärung dafür wie du darauf kommst...zum dritten mal ;-)


    Weiterhin ist, wie du auch schreibst, unendlich nicht definiert ... allerdings kann das "unendlich" in den Klammern nicht das "gleiche" unendlich sein, wie jenes wofür s steht da der Wert 1 fehlt.

  • Okay tatsache, hast recht. Trotz allem kannst du den rechten Teil der Summe nicht einfach in s umbenennen und dann von der linken Seite abziehen. Bitte eine Erklärung dafür wie du darauf kommst...zum dritten mal ;-)


    Weiterhin ist, wie du auch schreibst, unendlich nicht definiert ... allerdings kann das "unendlich" in den Klammern nicht das "gleiche" unendlich sein, wie jenes wofür s steht da der Wert 1 fehlt.


    Die Reihe schreibt sich wie bereits gesagt als "1 + 2 + 4 + 8 +...". Wenn ich ab dem zweiten Summanden nun die 2 ausklammere komme ich wieder auf genau den selben Ausdruck "1 + 2 + 4 + 8 +..." welcher ja wieder der ursprünglichen Reihe entspricht. Bei endlichen Summen wäre dies natürlich falsch, da wie bereits erkannt der letzte Summand fehlen würde, da es sich aber um eine unendliche Reihe handelt und es kein letztes n gibt sind in diesem Fall die beiden Ausdrücke gleich.

  • Die Reihe schreibt sich wie bereits gesagt als "1 + 2 + 4 + 8 +...". Wenn ich ab dem zweiten Summanden nun die 2 ausklammere komme ich wieder auf genau den selben Ausdruck "1 + 2 + 4 + 8 +..." welcher ja wieder der ursprünglichen Reihe entspricht.

    Neuer Ansatz:
    seit wann darf man denn überhaupt eine Gleichung in sich selbst einsetzen? Das hebt sich doch gegenseitig auf. Und die -1 rührt dann daher, dass man die 1 außen vor gelassen hat.

  • Neuer Ansatz:
    seit wann darf man denn überhaupt eine Gleichung in sich selbst einsetzen? Das hebt sich doch gegenseitig auf. Und die -1 rührt dann daher, dass man die 1 außen vor gelassen hat.


    Natürlich kommt man auf -1 deshalb weil man erst ab dem zweiten Summanden die 2 ausklammert, was aber wie bereits gezeigt kein Regelverstoß ist.


    Zum Punk Gleichung in sich selbst einsetzen: Zum 1000sten Mal. Die Summendarstellung ist nur eine kurze und übersichtliche Variante der ausgeschriebenen Version und absolut gleichbedeutend. S habe ich nur verwendet um nicht die ganze Zeit mit dem Summenzeichen arbeiten zu müssen, was aber natürlich genauso richtig wäre.
    Anderes Beispiel: Wenn man mittels partieller Integration löst kommt man am Ende auch auf eine Gleichung, bei der dieser Term ein zweites Mal vorkommt. Wers nicht glaub kanns gerne unter Zuhilfenahme von "cos²x = 1 - sin²x" nachrechnen.

  • Kein Regelverstoß, dennoch kann man auf die Art und Weise jedes beliebige Ergebniss produzieren, wenn du nämlich jeweils 3, 4, 5 etc. ausklammern würdest. Das ist nicht Sinn und Zweck dieser Summe. Sie soll lediglich die bestehende Divergenz zeigen...Der Formalismus "unendlich" dient nur der Beweisführung das diese Divergenz auf alle Zahlen zutrifft die man für n einsetzen kann.

  • Wenn man 3 oder 5 ausklammert hat man in der Klammer allerdings etwas, was einem nicht weiterhilft. 4 Kann man ausklammern, wenn man die ersten beiden Summanden (1 und 2) stehen lässt, wodurch man in der Klammer wieder die ursprüngliche Reihe bekommt. Beim ausrechnen ist auch hier das Ergebnis wieder -1. Man kann also nicht jedes beliebige Ergebnis produzieren.

  • Mmmh, denk denk grübel. Jetzt sehe ich was du meinst, bin wohl doch stärker wieder eingerostet als ich dachte. Was will uns diese -1 sagen? Rein theoretisch kann sie ja nicht Lösung der Summe sein ... werde morgen nochmal darüber nachdenken in Ruhe und mit mehr Schlaf. Paranormal wird es jedenfalls nicht sein. Höchstens paradox weil mit Unendlich zu rechnen genauso wenig definiert ist, wie die Division durch 0. Vielleicht kann das ja ein ausgefuchster, vollberuflicher Mathematiker erklären. =), so long GN8 zusammen


    Okay, habe jetzt mehrere Ergebnisse über Google abgefragt und komme zu dem Schluss das diese Operation wie du sie durchführst mathematisch nicht definiert und daher tatsächlich unzulässig ist. Demnach ist die Lösung s=-1 nicht korrekt.

  • Ich kann nicht glauben was ich hier lese. Das ist 8. Klasse Mathematik. Natürlich kann man auch Konstanten aus Teilen von Summen ausklammern.






    Eventuell hätte ich vor dem Schreiben doch nochmal nachschauen sollen. Du hast Recht und ich bitte darum, meinen obigen Beitrag zu löschen.


    (davon abgesehen, dass das ganze trotzdem nicht zu funktionieren scheint und ich somit einfach dem User res beipflichte. :mrgreen: )

    Demokratie ist, wenn zwei Wölfe und ein Schaf darüber abstimmen, was es zum Abendbrot gibt. Freiheit ist, wenn das Schaf eine Heckler&Koch hat.


    Konquistadore: Mit einem großen Knall auftauchen macht eben viel viel mehr Eindruck als wenn einer angeschlurft kommt und sagt:"Jo, denne bin euer Gott, läuft!"

  • Habe mich jetzt nochmal damit beschäftigt und nen befreundeten Mathematikprofessor gefragt; was du hier darstellst, ist eine divergente Reihe, dadurch kannst du nicht dieselben Regeln auf sie anwenden wie auf eine normale Gleichung.

  • Dann erkläre mir mal das:
    a = unendlich
    b = unendlich + 1 = unendlich


    was ist b-a?
    Unendlich ist halt keine richtige Zahl. Auch gibt es verschiedene Unendliche: abzählbar unendlich und überabzählbar unendlich. Die reellen Zahlen kann man nicht abzählen, bei rationalen oder ganzen Zahlen aber doch.

    Der Flügelschlag eines Schmetterlings über der Karibik kann einen Wirbelsturm in China auslösen.
    Tötet alle Schmetterlinge!

  • dann eben
    a = unendlich
    b = unendlich - 1 = unendlich


    was ist a - b?


    man kann ja auch eine Reihe machen etwa
    a = 1 + 2 +3 + 4 + 5 +....
    b = 2 + 3 + 4 + 5 +....
    was ist a - b?

    Der Flügelschlag eines Schmetterlings über der Karibik kann einen Wirbelsturm in China auslösen.
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  • a-b ist immer -1...wenn man es so nimmt..aber unendlich -1 gibts auch nicht...würde es 1kleiner als unendlich geben,gäbe es kein unendlich....dann wäre unendlich genau das,was nach unendlich-1 kommt..wo wir ja eigentlich bei einem paradoxon wären..wenn wir jetzt mal sagen,dass es unendlich gar nicht gibt.....


    und genau das ist manchmal das verkehrte...formeln hin oder her,,einige formeln machen vllt auf dem papier sinn wenn man rechengesetze anwendet,aber wenn man näher drüber nachdenkt,sind sie dennoch schwachsinnig...dass es irgendwas gibt, was unendlich ist, halte ich aber obendrein für ein gerücht...

  • wenn man von unendlich etwas endliches hinzufügt oder abzieht, ändert es nichts daran, dass es unendlich ist. Unendlich ist halt keine normale Zahl, sondern nur eine Grenze und da man zwischen unendlich und unendlich -1 nicht unterscheiden kann, ist es auch nicht definiert was unendlich - unendlich ist oder unendlich / unendlich.
    Ob es in der Wirklichkeit so etwas wie unendlich gibt weiß ich nicht. Vielleicht ist der Raum unendlich groß in denen sich viele Multiversen tummeln. Aber hier geht es ja um Mathematik und nicht um die Wirklichkeit.

    Der Flügelschlag eines Schmetterlings über der Karibik kann einen Wirbelsturm in China auslösen.
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  • Natürlich geht unendlich +1 warum auch nicht? Der Begriff "Unendlich" ist keine Zahl sondern eine Funktion. Und in die funktion kannst du auch +1 oder -500 reinpacken wie du willst, es ändert aber nichts am ergebnis, da ein ergebnis nicht existent ist. Es gibt auch "Minus unendlich" dass ist di selbe Funktion mit negativem Vorzeichen. Wenn du schon vorgibst, dass die ganzen Rechnungen und Formeln "nicht realistisch" Sinn, solltest du erstmal ihre Definition verstehen anstatt einfach mal mit Halbwissen heranzu gehen.

    Fürchte dich nicht vor dem Mann mit vielen Narben, sondern fürchte den, der sie Verursacht hat.

  • Natürlich geht unendlich +1 warum auch nicht? Der Begriff "Unendlich" ist keine Zahl sondern eine Funktion.


    Ich finde es sehr interessant, wie hier mit jede Menge Un- und Halbwahrheiten um sich geschmissen wird, dabei befinden wir uns doch in der rein logischen Mathematik^^


    Ich studiere zwar keine theoretische Mathematik im eigentlichen Sinne, aber mein Studium enthält große Teile Mathematik, und ich wollte das jetzt mal hier so nicht auf mir Sitzen lassen.


    Fangen wir mal an mit der Unendlichkeit und was "Unendlich" nun eigentlich ist.
    In der Mathematik ist unendlich (normalerweise) keine normale Zahl, mit der man rechnen kann. Ihr werft hier etwas durcheinander ;)
    Man darf unendlich auch nicht einfach so in eine Gleichung einsetzen. Das liegt daran, dass unendlich nunmal keine Zahl ist, mit der wir Rechenoperationen durchführen dürfen. In der Schule in der Oberstufe lernt man, dass man in solchen Fällen, in denen man es müsste, eine beliebige Variable einsetzt und diese gegen unendlich laufen lässt. (Limes von a gegen unendlich)


    Undendlich wird in den meisten Fällen, wie auch hier, definiert als eine nicht endliche Menge von natürlichen Zahlen. Somit ist ist unendlich ein Begriff der Mengenlehre. (Frage mich, wie man auf "Funktion" kommt? :S )
    Eine Menge, die keine endliche Anzahl an Werten besitzt, ist seine unendliche Menge. Genau das ist es doch, was wir hier brauchen ;)
    Ich zitiere mal Wikipedia:

    Zitat

    - Eine Menge ist unendlich, wenn es keine natürliche Zahl n gibt, so dass die Menge gleichmächtig zu {0, 1, ..., n-1 } ist (für n=0 ist das die leere Menge).


    Beispiele für unendliche Mengen sind die Menge der natürlichen Zahlen |N = { 0, 1, 2, 3, ... } oder die Menge |R der reellen Zahlen.


    (Mächtigkeit bedeutet, wie viele Elemente eine Menge enthält)


    Wenn wir uns jetzt zum eigentlichen Problem begeben, so hat Farbwechsel eigentlich schon alles erklärt, wenn auch nicht komplett mit mathematischen Fakten hinterlegt^^
    Also nochmal zu deiner Reihe:
    (Übrigens sehe ich gerade, dass du doch schon selbst das Wort "unendliche Reihe" in den Mund genommen hast, wie konntest du denn dann diesen Denkfehler begehen?)


    Wir betrachten also die Reihe
    Wenn wir sie nun in die andere Schreibweise überführen, so haben wir:
    S = { 1, 2, 4, 8, ... , 2^(n-1), 2^n }
    Wie man unschwer erkennen kann, hat diese Menge die Mächtigkeit n, wobei n gegen unendlich läuft.


    Schreiben wir das jetzt als Rechnung:
    S = 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2^(n-1) + 2^n
    Wenn wir ausklammern, steht das da:
    S = 1 + 2 * ( 1 + 2 + 4 + ... + 2^(n-2) + 2^(n-1) )


    Auch wenn die Klammer in der zweiten Formel divergent ist, so ist es trotzdem nicht dasselbe wie die Summe S aus der Zeile darüber. Dafür müssen wir uns die Mächtigkeit anschauen.
    Die erste Reihe hat die Mächtigkeit n, wie oben beschrieben. Klammern wir nun aus, so hat die Reihe in der Klammer die Mächtigkeit n-1. Und wie schon gesagt, auch wenn n gegen unendlich strebt, so müssen wir uns bei den Rechnungen an die Gesetze der Mathematik halten. n ist nicht n-1.


    Vielleicht noch ein schöneres Bild, um das zu erklären:
    In Summen geschrieben
    Schritt 1:


    Schritt 2:


    Man kann jetzt zwar der Summe hinter dem 2* einen Namen geben, allerdings wird dieser auf keinen Fall S sein ;)


    Ich hoffe so ist das jetzt auch für Nicht-Mathematiker verständlich.
    Wenn nicht, schaut euch nochmal das anschauliche Beispiel von Farbwechsel mit einer vorgegebenen Reihe an, das ist eigentlich auch eindeutig ;)

    "Wir ziehen in den Krieg. Die Elfen sind im Begriff unseren Wald zu verlassen. Und wir werden im Triumph heimkehren - oder gar nicht."

    3 Mal editiert, zuletzt von Feynûri ()

  • ich hab auch mal n kleines rätsel.


    wenn 1mrd chinesen jeweils 1 kind bekommen,wieviele kinder sind es dann?


    und es sind ja keine halben chinesen,sondern ganze chinesen.


    man kann alles in zahlen fassen,nur ob es sinnvoll ist,dies immer zu tun...ist eine ganz andere frage.


    wenn man jetzt mathematisch herangeht,dann sind 1mrdchinesen x 1kind= 1mrd chinesische kinder.


    also ist ja mathematisch alles richtig...auf die ausgangsfragestellung bezogen.



    jetzt kann mir ja ein schlaues kerlchen sagen :"mutter und vater, ein kind wird immer von 2 personen erzeugt,also fehlt in der formel ein 1mrdchinesen:2
    so dass die rechnung am ende heissen dürfte
    [1mrdchinesenx1kind]:2


    natürlich sind es 1/2 mrd kinder..aber das kann hier jeder leicht ausrechnen...nur benutzen wir das Wort "unendlich/unendlichkeit" hier ähnlich wie den Begriff chinesen...wir wissen gar nicht,was das ist...allzu oft benutzen wir es um uns Dinge,um Sache zu beschreiben,die unseren Horizont übersteigen oder die wir einfach nicht begreifen können....


    Beispiele?
    -Wieviele SOnnen im Universum gibt es? -Unendlich viele (dabei gibt es eine bestimmte anzahl..zu jedem zeitpunkt gibt es eine bestimmte anzahl,nur sprengt es den rahmen uns menschen und womöglich jeglicher intelligenz im Universum, jenen Wert zu ermitteln)


    - Wie groß ist das Universum- Unendlich (stimmt auch nicht....da wir wissen,dass das universum expandiert..es expandiert auch in keinen anderen raum hinein(nicht so,wie ein luftballon,den man in einem Zimmer aufpustet,und dann den raum des zimmers verkleinert)...nein, laut urknalltheorie haben sich raum und zeit getrennt, und je mehr zeit vergeht,desto mehr expandiert das universum.


    wenn man eine x/y achse wo die eine Axhse den Raum und die andere die Zeit darstellt sollte dies auch logisch nachzuvollziehen sein...je länger also die X achse anwächst,desto länger wird auch die Y achse..der raum wird größer weil zeit vergeht...es entsteht


    hächsten hier würde ich es wagen von "unendlichkeit in wahrer form" zu sprechen...die zeit wird unendlich lange vergehen..und unendlich lang wird neuer raum entstehen,,dieser und beides wird aber niemals unendlich sein...man kann immer zurück zum anfang blicken...in der jeweiligen Gegenwart hat beides eine feste größe...ala


    Vor 9478574 Milliardne jahren war der anfang, soviel zeit ist bis dato vergangen,,, und zu diesem zeitpunkt beträgt das Universum(alles,was existiert,was seit dem urknall..dem anfang von raum/zeit...entstanden ist,,so und soviele lichtjahre? Meilen? vllt sollte man auch in volumen rechnen...


    was mich auf eine andere Frage bringt.....


    wie schaut es mit der Masse im Universum aus? steigt sie an? oder war am anfang genausoviel gesamtmasse vorhanden wie heutzutage? ich tendiere eher dazu anzunehmen dass auch die masse in jene gleichung reingehört...auf welche art und weise,das übersteigt meinen horizont(noch)..aber ich nehme stark an dass auch die masse als eine feste achse eintragbar ist..



    ich habe mathematik nicht studiert....ich habe es in der schule gelernt...und war schon damals immer der auffassung...."nicht die formel sind das wichtige,sondern zu verstehen,was da passiert...was man rechnet; dass man sich die mathematik in gedanken übersetzen kann! etwas,was man logisch nachvollziehen kann..und wenn man das verstanden hat,dann kann man die formel auch einfach so anwenden,ohne groß drüber nachzudenken"


    aber eine formel,in der unendlich vorkommt; ist für mich nurnoch eine Schablone,...diese formel..wie ich sie gelesen habe,,,,kann man sich da überhaupt nen bild vorstellen? ein bild wie?


    1mrd chinesenx1kind=1mrd chinesesische kinder:2


    das ist eine gleichung, die man nach überlegung der tatsache,dass es männchen und weibchen gibt,nachvollziehen kann...man kann es also "übersetzen":.aus der mathematik in "Gedanken":...


    aber das kann ich persönlich bei jener formel nicht...und wer dies kann,kann dies doch bitte für mich in verständlichen Worten darstellen,was für gedanken ich brauch,um zu verstehen,was hinter einer formel steht,wo "Unendlich" vorkommt..