Mathematische Paradoxa

  • Hi,




    das hier ist mein erster Beitrag und ich hoffe dass ich hier richtig bin.








    Meine Frage bezieht sich auf ein Thema das hier nicht so häufig behandelt wird und zwar auf die Mathematik.






    = 1 − 2 + 3 − 4 + · · · = 1/4








    Wie kann diese unendliche Reihe die nicht einmal konvergiert den Wert 1/4 haben?






    Ich hätte gedacht, dass es in der Mathematik nichts Paranormales gibt, aber nun bin ich mir auch nicht mehr sicher.

  • Induktionsbehauptung:



    Induktionbehauptung [für n]: \sum\limits_{k=1}^n [k(-1)^(k-1)]=1/4(1+(2n+1)(-1)^(n-1))


    Induktionsbeweis [für (n+1)]: \sum\limits_{k=1}^(n+1) k(-1)^(k-1)=1/4(1+(2n+3)(-1)^n)


    Beweis: Gleichsetzen der Behauptung für k=n und k=(n+1)


    Kannst du gerne nachrechnen. Die Behahauptung stimmt für alle n und (n+1)


    Für den Induktionsanfang (n=1) kommt auf beiden Seiten 1 raus, nicht 1/4
    Für den zweiten Induktionsschritt (n=(1+1)=2) kommt auf beiden Seiten -1 raus. Das ist auch nachvollziehbar.


    Jedenfalls stimmt ja nicht, was du geschrieben hast, dass sich die Summenformel auf 1/4 für die Laufvariable gegen unendlich reduzieren lässt, sondern die Summenformel lässt sich auf die Formel oben reduzieren.


    Warum das so ist, keine Ahnung, bin kein Mathematiker, sondern kann nur beweisen, dass es wahr ist, was ich schreibe. Wie man darauf kommt, weiß ich selber nicht. Paranormal ist das nicht unbedingt.


    Ich habe aber eine Logiknuss für euch.


    p&-q: Wenn Geister bewiesen sind, dann sind solche paranormalen Phänomene nicht paranormal.
    Geister sind aber nicht bewiesen.
    Also ist die ganze Aussage falsch, weil man Geister nicht sehen kann.
    Also ist -p wahr. Wenn -p wahr ist, dann ist auch das Gegenteil von -q, also q selbst wahr.
    Also gibt es Geister und Telepathie.

    Das ist die eine Anwendung der REDUCTIO AD ABSURDUM, die man normalerweise so anwenden kann. Warum manche Menschen auf diesen Denkfehler reinfallen, ist mir schleierhaft.

    Schlüssel waren nie die Erlösung: Sie sind der Grund auf Erden, warum es verschlossene Türen gibt.

  • 1 − 2 + 3 − 4 + · · · = 1/4


    Auch auf die Gefahr hin, dass ich mich lächerlich mache, da Mathematik alles andere als mein Steckenpferd ist, behaupte ich trotzdem mal, dass wenn man ganzzahlige Werte addiert und subtrahiert niemals als Ergebniss 1/4 erhält. So lässig mit Beweisführung bekomme ich das natürlich nicht hin, aber in meiner Gedankenwelt braucht das auch keinen weiteren Beweis :) ...

  • Nur mal für mein Verständnis, eine Frage:


    Ein negativer Exponent führt zur Division, dadurch ist dann auch eine gebrochene Zahl möglich (aber entsteht hier überhaupt ein negativer Exponent außer -1?), egal...soweit kann ich mir das irgendwie zusammen reimen :D. Aber wie passt dann das "= 1 − 2 + 3 − 4 + · · · =" da rein? Dieser Teil ergibt doch letzlich nur eine unendliche negative ganze Zahl, da eigentlich in einer Endlosschleife -1 + (-1) gerechnet wird und kann doch somit nicht den Werten rechts und links neben dem istgleich-Zeichen entsprechen, oder?


    Edit: Ich merke gerade, dass ich meine mathematischen Fähigkeiten mal wieder etwas aufpolieren muß...Vielen Dank dafür schon mal :)

  • Ihr verwirrt mich Jungs :mrgreen: , habt doch bitte Mitleid mit 'nem Mathemuffel. Hilfe, ich will's ja nur verstehen :D.


    Ok, daran dachte ich auch

    Zitat

    (aber entsteht hier überhaupt ein negativer Exponent außer -1?)

    . D.h. dann aber, dass Wissbegierig unrecht hat? In jedem Fall ist die Gleichung im Ausgangspost nicht korrekt oder?

  • @ Ragnarsson: Danke, du hast natürlich recht. Habe diese Gleichung jetzt mal probeweise gerechnet bzw. von meinem Taschenrechner rechnen lassen, beginnend bei 0 bis 1000 und raus kam -500
    Gerechnet mit den Werten 0 bis 5000 kamen -2500 raus. Demnach bildet diese Summe immer die Hälfte des oberen Grenzwertes ab. Also - widerlegt...nix paranormales an dieser Gleichung

  • Muss mich korrigieren, sorry für den Doppelpost.


    @ Ragnarrson: Du hast mit der Aussage recht, das die Lösung wie hier angegeben Falsch ist. Du hast aber nicht damit recht, das 0x0^-1=0 ist. Der Rechenschritt ist nicht zulässig, weil du 1 durch 0 dividierst und das ist ohne Lösung. Demnach muss die Summe auch bei 1 anfangen, für alles nach 0 liefert diese Summe nämlich
    a) positive Exponenten und
    b) schwankt die Summe aperiodisch um die Hälfte des oberen Grenzwertes in den positiven und negativen Zahlen


    So long =)

  • Was du machst ist Unendlich von Unendlich abzuziehen und das ist nicht definiert, weil da alles mögliche raus kommen kann.

    Der Flügelschlag eines Schmetterlings über der Karibik kann einen Wirbelsturm in China auslösen.
    Tötet alle Schmetterlinge!

  • König Samudin :




    Könntest du die Gleichung bitte mit der Quelle verlinken über die du da gestolpert bist? Du gibts keine Variablen vor bzw. deren Wertebereiche. Aus deiner Ausführung nehme ich aber an das du eine Summe beginnend bei 0 hin zu positiven Werten von n meinst.



    Hinzu kommt das du bei 2^n nicht einfach 2 ausklammern kannst, denn dann müsstest du jede Ziffer die nicht 2 ist, durch 2 dividieren. Demnach ist weder dein Klammerausdruck in Zeile 3 korrekt noch die vorangestellte Summe 1+2.
    Weiterhin benennst du den vermeintlichen Klammerausdruck einfach in s um und ziehst ihn von der linken Seite der Gleichung ab. Was bringt dich zu dieser Annahme?


    Mathematik ist logisch...nicht Paranormal.

  • @Wissbegierig:


    = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ...
    2^0=1 lasse ich stehen und klammere ab dem zweiten Summanden die 2 aus, weil jeder weitere Summand ein Vielfaches von 2 ist. Dadurch steht in der Klammer wieder die ursprüngliche Summe, da es sich um eine unendliche Reihe handelt. Durch Auflösen der Gleichung kommt man auf -1 für die Summe und das obwohl die Reihe eigentlich divergent ist.

  • Du kannst in diesem Fall aber nicht einfach die 1 stehen lassen und den Rest mittels Division durch 2 wieder reduzieren. Du redest von einer unendlichen Reihe zu der auch 2^0 gehört. Die Summe gilt nunmal für alle n, beginnend bei 0 bis unendlich.


    Selbst wenn das ginge, hätte ich gerne eine Erklärung dafür, dass du den von dir benannten Klammerausdruck =s setzen darfst.

  • Ok, ich sehe ein dass diese Reihe nicht paranormal ist, aber wie erklärt ihr euch bitte das hier?


    s=1+2+4+8+.... (unendliche Reihe: 2^n)
    s=1+2*(1+2+4+8+...) (2 ausklammern)
    s=1+2*s |-s
    0=1+s
    => s=-1

    (Vorweg: alle Angaben ohne Gewähr. Bin weder Mathematikprofessor noch sonstwas.)


    Du machst den Fehler, dass die Zahlenreihe, die du in der Klammer darstellst, definitiv nicht "s" ist. Die Klammer stellt nicht alle Werte bis 2^n dar, sondern lediglich bis 2^(n-1). Als Beispiel eine klarer definierte Reihe mit n bis 5:
    s = 1 + 2 + 4 + 8 + 16
    s = 1 + 2 * (1 + 2 + 4 + 8 )


    Ist also nicht das Gleiche. Und wenn es nicht das Gleiche ist, dann bringt es auch nichts, dort "s" einzusetzen. Hoffe, ich habe jetzt richtig gedacht und nicht irgendeine Schmarrn dahergeredet, falsl doch, korrigiert mich bitte. ;)

  • Du kannst in diesem Fall aber nicht einfach die 1 stehen lassen und den Rest mittels Division durch 2 wieder reduzieren. Du redest von einer unendlichen Reihe zu der auch 2^0 gehört. Die Summe gilt nunmal für alle n, beginnend bei 0 bis unendlich.


    Selbst wenn das ginge, hätte ich gerne eine Erklärung dafür, dass du den von dir benannten Klammerausdruck =s setzen darfst.



    Warum sollte ich nicht die 1 stehen lassen können. Anderes Beispiel: x² + 2x + 1 = x (x + 2) + 1
    Das Summenzeichen ist nur eine vereinfachte Darstellung des Ausdrucks "1 + 2 + 4 + 8 +..." und absolut gleichbedeutend damit. Man kann natürlich auch bei unendlichen Reihen Umformungen vornehmen, sonst könnte man in den wenigsten Fällen den Wert ermitteln.

  • Auch das ist falsch, da du zunächst die 1 auf die rechte Seite der Gleichung subtrahieren müsstest. Tust du dies nicht, müsste dein Term korrekterweise x(x+2 - 1/x) lauten.
    Du kannst sicherlich Umformungen und Vereinfachungen vornehmen, allerdings muss dies für alle Werte der Reihe gelten. Die Summe gilt nunmal als ganzes und wird wie alles in der Mathematik durch Regeln geschützt um unzulässige Umformungen zu vermeiden.


    Ich kann dir definitiv sagen das du die Summe so nicht lösen kannst.


    Was Farbwechsel sagt ist ebenfalls korrekt. Der Klammerausdruck ist nicht =s, weil sie nicht alle Werte der Summe darstellt. Nicht korrekt ist dagegen die Aussage es würde sich um die Reihe 2^(n-1) handeln ;-). Dies schließt auch wieder alle n ein und würde zu Beginn der Reihe einen negativen Exponenten erzeugen.